Moyenne arithmétique ou géométrique : quel rendement moyen ?

Définition en une phrase

La moyenne arithmétique additionne les rendements de chaque période et divise par leur nombre ; la moyenne géométrique donne le rendement constant qui, composé période après période, mène exactement au même capital final. C'est donc la seconde qui mesure la croissance réelle.

La moyenne arithmétique ne tient pas compte de la composition : une perte s'applique à un capital déjà modifié par les gains ou pertes précédents. Dès que les rendements varient, la moyenne arithmétique est supérieure à la moyenne géométrique.

Exemple hypothétique

Prenons un capital qui gagne un certain pourcentage sur une période, puis perd exactement le même pourcentage sur la période suivante.

• Moyenne arithmétique : le gain et la perte s'annulent, la moyenne est nulle. On a l'impression que le capital n'a pas bougé.
• Réalité : la perte s'applique au capital déjà augmenté. Le capital final est inférieur au capital de départ.
• Moyenne géométrique : elle est négative, ce qui correspond à la perte réelle.

Plus l'écart entre le gain et la perte est grand, plus la différence entre les deux moyennes est forte. Pour tester vos propres chiffres, utilisez les outils de la page Calculateurs et simulateurs.

Avec un effet de levier, les variations du compte sont plus amples, et cet écart se creuse d'autant. Le trading de CFD et de forex à effet de levier peut faire perdre de l'argent rapidement, et une série de pertes pèse plus lourd que ce que suggère une moyenne simple.

Définition formelle

Pour chaque période, on calcule le facteur de croissance : valeur finale divisée par valeur initiale.

• Moyenne arithmétique : somme des rendements de chaque période, divisée par le nombre de périodes n.
• Moyenne géométrique : racine n-ième du produit des facteurs de croissance, puis conversion de ce facteur moyen en rendement.

Équivalence utile : la moyenne géométrique correspond à la moyenne arithmétique des rendements logarithmiques, reconvertie en rendement simple.

Cas limites

• Rendements tous identiques : les deux moyennes sont égales.
• Volatilité élevée : l'écart entre les deux grandit avec la variance des rendements. C'est ce qu'on appelle parfois la « traînée de volatilité » (volatility drag).
• Perte totale sur une période : le facteur de croissance devient nul. La moyenne géométrique traduit alors la ruine, quelle que soit la moyenne arithmétique.
• Usage correct : la moyenne arithmétique reste l'estimation pertinente du rendement attendu sur une seule période. Pour décrire une croissance composée sur plusieurs périodes, on utilise la moyenne géométrique.

Où vous la rencontrez

• Rapports de fonds et classements : la « performance annualisée » est en général une moyenne géométrique. Voir Rendement annualisé et TCAC (CAGR).
• Presse financière : un « rendement moyen » cité sans précision est souvent arithmétique, donc plus flatteur.
• Relevés et courbes de capital : sur une plateforme comme MetaTrader 5, le relevé de compte montre les résultats période par période. L'equity curve montre la croissance composée réelle.

Termes liés

• Volatilité annualisée
• Alpha et Bêta
• Valeur future et actuelle
• Gestion du risque
• Glossaire du trading

Questions fréquentes

Pourquoi la moyenne arithmétique surestime-t-elle la croissance ?

Elle ignore la composition. Une perte s'applique à un capital déjà modifié, ce qui réduit le résultat final par rapport à ce qu'indique la moyenne simple.

Comment faire le calcul du rendement moyen réel ?

On multiplie les facteurs de croissance de chaque période, on prend la racine n-ième du produit, puis on reconvertit ce facteur en rendement.

Le rendement annualisé est-il une moyenne géométrique ?

En général oui, quand il est calculé sur plusieurs années. Vérifiez la méthode indiquée dans le document que vous consultez.

Les deux moyennes peuvent-elles être égales ?

Oui, uniquement si les rendements de toutes les périodes sont identiques.